题目
定义在R上的函数f(x),对任意x属于R都有f(x)>0,f(0)不等于0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b属于R,有f(a+b)=f(a)乘以f(b)..1、求证f(0)=1 2、求证f(x)时R上的增函数.3、若f(x)乘以f(2x-x^2)>1,求x的取值范围
提问时间:2021-04-01
答案
1.因为f(a+b)=f(a)f(b),令式中a=b=0得:f(0)=f(0)*f(0),因f(0)不等于0,所以等式两同时消去f(0),得:f(0)=1.
2.设x1>x2,因为对任意的x属于R,恒有f(x)>0,所以f(x1)/f(x2)=f(x1+x2-x2)/f(x2)=(f(x1-x2)*f(x2))/f(x2),分子分母同时约去f(x2),得:f(x1)/f(x2)=f(x1-x2),因为x1>x2,所以x1-x2>0,所以f(x1-x2)>1,所以f(x1)/f(x2)>1,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)是R上的增函数.
3.f(x)*f(2x-x平方)=f(3x-x^2)>1,因为x>0时,f(x)>1,f(x)又为R上的增函数,所以,只有当3x-x^2>0时,才会有f(x)*f(2x-x平方)>1,此时,0
2.设x1>x2,因为对任意的x属于R,恒有f(x)>0,所以f(x1)/f(x2)=f(x1+x2-x2)/f(x2)=(f(x1-x2)*f(x2))/f(x2),分子分母同时约去f(x2),得:f(x1)/f(x2)=f(x1-x2),因为x1>x2,所以x1-x2>0,所以f(x1-x2)>1,所以f(x1)/f(x2)>1,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)是R上的增函数.
3.f(x)*f(2x-x平方)=f(3x-x^2)>1,因为x>0时,f(x)>1,f(x)又为R上的增函数,所以,只有当3x-x^2>0时,才会有f(x)*f(2x-x平方)>1,此时,0
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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