题目

请问行列式主对角线均为（x+y),主对角线上面那条斜线均为x,下面那条斜线均为y,怎样求?
请问行列式主对角线均为（x+y),主对角线上面那条斜线均为x,下面那条斜线均为y,其他元素都为0的n阶行列式,x不等于y,应怎样求?麻烦能把思路告诉我么,我作线代好像没有思路.

提问时间：2021-04-01

答案

a+b a 0 ...0 0
b a+b a ...0 0
0 b a+b ...0 0
.........
0 0 0 ...a+b a
0 0 0 ...b a+b
按第1列展开
Dn=(a+b)D(n-1)-abD(n-2)
所以
Dn-aD(n-1)
= b(D(n-1)-aD(n-2))
= b^2(D(n-2)-aD(n-3))
= ...
= b^(n-2)(D2-aD1)
= b^(n-2)[(a+b)^2-ab - a(a+b)]
= b^(n-2)[a^2+ab+b^2-a^2-ab)]
= b^n.
即有 Dn = b^n+aD(n-1)
所以
Dn
= b^n+aD(n-1) = b^n+a(b^(n-1)+aD(n-2))
= b^n+ab^(n-1)+a^2D(n-2)
= ...
= b^n+ab^(n-1)+a^2b^(n-2)+...+a^(n-2)b^2+a^(n-1)D1
= b^n+ab^(n-1)+a^2b^(n-2)+...+a^(n-2)b^2+a^(n-1)b+a^n
若 a≠b,则 Dn = [a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)
若 a=b,则 Dn = (n+1)a^n