题目
函数的证明问题
设f(x)是定义在【-k,k】上的任意函数,证明：f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式.
设f(x)是定义在【-k,k】上的任意函数,证明：f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式.
提问时间：2021-04-01
答案
令g(x)奇,h(x)偶
f(x)=g(x)+h(x)
只要证明这两个函数存在即可
f(x)=g(x)+h(x) (1)
f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x) (2)
相加
f(x)+f(-x)=2h(x)
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
g(x)=f(x)-h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
所以g(x),h(x)存在
所以f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式
f(x)=g(x)+h(x)
只要证明这两个函数存在即可
f(x)=g(x)+h(x) (1)
f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x) (2)
相加
f(x)+f(-x)=2h(x)
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
g(x)=f(x)-h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
所以g(x),h(x)存在
所以f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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