题目

证明：若函数y=f（x）与y=g（x）的图像关于直线y=x对称,则函数y=f（2x）与y=1/2g（x）的图像也关于直线y=x对称.
貌似用反函数,看不懂答案.这种题怎么解阿?今年江西卷的选择第九题.如果有题的话帮忙把整个题讲讲吧,没有就算了.

提问时间：2021-04-01

答案

若函数y=f(x)与y=g(x)的图像关于直线y=x对称,则g(x)是f(x)的反函数,即g(x)=f^(-1) (x).
反函数也可以这样考虑,对于函数y=f(x),把x、y互换得,
x=f(y),于是f^(-1) (x)=y,即y=f^(-1) (x)=g(x).即在一个可逆函数中,把x、y互换位置即可得到反函数.（这也是原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的另外一个解释,原函数图像上的点的坐标互换位置就得到反函数图像上的点）.
现求函数y=f(2x)的反函数.
互换x、y的位置,x=f(2y),于是2y=f^(-1) (x)=g(x),y=1/2*g(x)
即函数y=1/2*g(x)是y=f(2x)的反函数,于是,两者的图像关于执行y=x对称.