题目

初三数学二次函数抛物线有一动点,求四边形最大面积
三个点分别是与Y轴（1个）,X轴（2个）相交的3个点,第4个点是抛物线上的动点,求当动点在哪时,四边形有最大面积————这种类型的题目要怎么做

提问时间：2021-04-01

答案

需要分情况讨论,显然,这样的四边形可以看成是三个固定点构成的三角形和其中某两个固定点与动点构成的三角形之和,前者的面积是固定的,会发生变化的只有后者,因此这种问题实质上是求动点与两个固定点构成三角形面积的最大值.
接下来,由于要求最大值,所以动点绝不会在抛物线无限延伸的左支或右支上,因为那样面积可以无限增大,没有最大值,因而动点一般都是限定在两个x轴交点之间.
这时可以分为两种情况,一种是动点和y轴交点分别位于x轴的两侧,这种情况最简单,会发生变化的就是动点与两个x轴交点构成的三角形面积,显然当动点位于抛物线顶点时面积最大.
另一种是动点和y轴交点位于x轴的同侧,这时要求的就是动点与y轴交点和某一个x轴交点构成的三角形面积的最大值,设抛物线方程为y=ax^2+bx+c,y轴交点A(0,c),某个x轴交点B(x0,0),则可知交点连线方程为cx+x0y=x0c,设动点P坐标(x,y),过P作PF垂直x轴交AB于F,则可知三角形ABP可分解为三角形APF和三角形BPF,两者的面积之和为PF*x0/2,x0为定值,因此只要让PF最大即可保证三角形ABP面积最大,而PF长度=|P点纵坐标-F点纵坐标|,两者分别可由抛物线方程和AB连线方程计算得到,最后PF长度可以表示为一个二次函数,求出其顶点最大值代入即可.