题目

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），求数列{a_n}通项公式．

提问时间：2021-04-01

答案

∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），①
∴当n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）S_n-1+2（n-1）．②
①-②得na_n=（n-1）S_n-（n-2）S_n-1+2
∴na_n=n（S_n-S_n-1）-S_n+2S_n-1+2
∴na_n=na_n-S_n+2S_n-1+2．
∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n=2S_n-1+2，
∴S_n+2=2（S_n-1+2）．
∵S₁+2=4≠0，∴S_n-1+2≠0，
∴{S_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
∴S_n+2=2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，
n=1时，a₁=S₁=2，也满足上式，
∴a_n=2ⁿ．