题目

从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t．

（1）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；
（2）x为何值时，容积V有最大值．

提问时间：2021-04-01

答案

由题意得，V=x（2a-2x）²=4（a-x）²•x
∴

x>0 2a-2x>0 x 2a-2x ≤t

∴0<x≤

2at

1+2t

∴函数V（x）=4（a-x）²•x的定义域为 (0，

2at

1+2t

]
V′=4（x-a）•（3x-a）令V′=0得 x=

a

3

（1）当

a

3

≤

2at

1+2t

，即 t≥

1

4

时，
∵0<x<

a

3

时，V′>0．
V（x）为增函数；

a

3

<x≤

2at

1+2t

时，V′<0．V（x）为减函数；
∴V（x）在 (0，

2at

1+2t

]上有极大值V（

a

3

），
∵x=

a

3

为唯一驻点，
∴当 x=

a

3

时，V有最大值

16

27

a3．
（2）当

a

3

>

2at

1+2t

，即 0<t<

1

4

时，
∵0<x<

2at

1+2t

时，V′>0恒成立；
∴V（x）为增函数；
∴当 x=

2at

1+2t

时，V有最大值

8a3t

(1+2t)3

．

（1）由已知中从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，根据长方体的体积公式，易得到V的表达式．
（2）求体积最大值的问题，由题意解出v的表达式，对函数v进行求导，解出极值点，然后根据极值点来确定函数v的单调区间，因极值点是关于a，t的表达式，此时就需要讨论函数v的单调性，分别代入求出最大值，从而求解．

本题考点：函数模型的选择与应用．

考点点评：此题是一道应用题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．