题目

怎么证明f(1-x)=-f(1+x)的对称中心是（1,0）还有怎么证明f(1+x)=f(1-x)的对称轴是x=1?

提问时间：2021-04-01

答案

1.第一个问题:
你可以参考我以前回答的问题:
由条件可知,
[f(1-x)-0]+{f(1+x)-0]=0
两个点1-X,1+X的横坐标是以1为中点的
对应的纵坐标F(1-X)和F(1+X)以0为中点
也就是说
点(1-x,f(1-x))和点(1+x,f(1+x))关于点(1,0)对称,
而x是任取的,所以原函数本身关于(1,0)对称
2.第二个问题:f(1+x)=f(1-x)
这可从图像上很容易看出来.
我们知道对于偶函数y=g(x)满足g(x)=g(-x)是关于x=0对称的,一方面你可以参考教材上对偶函数如何证明其关于x=0对称的方法来证明该问题
另外,还可以这么理解:
已知g(x)为偶函数,等价于y=g(x)=g(-x),也等价于g(x)关于x=0对称
那么,将其沿+x平移1个单位,那么新函数为:
f(x)=g(x-1)=g(1-x)
另外考虑到
g(x)=g(-x),
将点(x,g(x))向+x平移1个单位为(x,g(x-1))
将点(-x,g(-x))向+x平移1个单位为(-x-1,g(-x-1))
因为是对图像整体沿X轴平移,故图像上Y值原先相等的点,在平移后Y值仍然相等,也就是有
g(x-1)=g(-x-1)
而
g(x-1)=g(1-x)
g(-x-1)=g(x+1)
于是
g(x+1)=g(1-x)
也就是说,若图相像关于x=1对称,也等价于g(x+1)=g(1-x)
注意上面并不是证明若g(x+1)=g(1-x)则函数关于X=1对称的过程,只是帮助你理解这些关系
证明方法:对于任意一点(1-X,F(1-X))和其关于X=1对称的点(1+X,F(1+X))都满足,F(1-X)=F(1+X),故整个函数关于X=1对称
上面分析可以看出,F(X)关于X=1对称和F(1-X)=F(1+X)是等价的