题目

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=—2f（x+2）.当x E【0,2】时,
f（x）=—x^2 +2x. f（x）在【2n—2, 2n】上的最大值的绝对值为｛an｝（n为角标下同）,（n E N+）,sn是an的前n项和.求sn当n趋于无穷时的极限?
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提问时间：2021-04-01

答案

x∈[0,2]时f(x)=f(x)
x∈[2,4]时f(x)=-f(x-2)/2=f(x)/(-2)(x∈[0,2])
.
x∈[2n-2,2n]时f(x)=f(x)/(-2)^(n-1)(x∈[0,2])=(-x^2+2x)/(-2)^(n-1)
=[-(x-1)^2+1]/(-2)^(n-1)
n为偶数时,当x=0或2时有最大值0,an=0
n为奇数时,当x=1时有最大值1/2^(n-1) an=|1/2^(n-1)|=1/2^(n-1)
所以n趋于∞时,limSn=1+1/2^2+1/2^4+...
=1*(1-1/4^n)/(1-1/4)=4/3