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> 已知f(x)=x2−6x−3x+1,g(x)=x3-3a2x-2a(a≥1),且它们定义域均为[0,1] (1)求函数f(x)的最小值; (2)判断函数g(x)的单调性并予以证明; (3)若对任意t∈...
题目
已知
f(x)=
x
提问时间:2021-04-01
答案
(1)由题意,
f
/
(x)=
x
2
+2x−3
(x+1)
2
令
f
/
(x)=
x
2
+2x−3
(x+1)
2
=0
得x=-3或x=1
∵函数定义域为[0,1]
∴x=1时,函数f(x)的最小值-4;
(2)g′(x)=3x
2
-3a
2
=3(x+a)(x-a)
∵函数定义域为[0,1],a≥1
∴函数g(x)的单调减区间是[0,1],
(3)由(1)知,函数f(x)的最小值为-4,所以问题等价为 x
3
-3a
2
x-2a≤-4(a≥1),在x∈[0,1]时恒成立
由(2)知,x=0时,函数g(x)取得最大值,所以-2a≤-4,故a≥2.
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