题目

已知直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k属于R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.
(1)求椭圆C的标准方程
(2)已知圆O:x^2+y^2=1,直线l:mx+ny=1.试证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截的弦长的取值范围

提问时间：2021-04-01

答案

(1).由题意得：直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0
整理得：（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0
则直线过x-2y-3=0和4x+3y-12=0的交点F（3,0）
直线过点（3,0）
所以椭圆C的一个焦点F为（3,0）
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
又因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8
所以a+c=8
又因为c=3
所以a=5 b=4
椭圆方程为x²/25+y²/16=1
(2).由圆的中心（0,0）到直线mx+ny=1的距离d=1/根号（m^2+n^2）,
把P(m,n)代入x²/25+y²/16=1
得m²/25+n²/16=1,
则m²+n²>1,
所以d<1,即直线l与圆O恒相交.
点P(m,n)在椭圆C上运动时,m²+n²的最大值是25最小值是16,
则d的范围是[1/4,1/5],
由半弦长、半径、圆心距的关系
得弦长的取值范围为[(根号15)/2,4倍(根号6)/5]