题目

是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．
（1）渐近线方程为x+2y=0，x-2y=0；
（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为

6

．

提问时间：2021-04-01

答案

由渐近线方程为x±2y=0，设双曲线方程为x²-4y²=m，∵点A（5，0）到双曲线上动点P的距离的最小值为

6

，
说明双曲线与半径为

6

的圆A相切，
∵圆A方程为（x-5）²+y²=6，与x²-4y²=m联立消去y得：4（x-5）²+x²=24+m 化简得到：5x²-40x+76-m=0，△=40²-4×5×（76-m）=0，
解得m=-4 所以满足条件的双曲线方程为x²-4y²=-4，
即y²-

x2

4

=1．
或者双曲线的顶点在（5+

6

，0）渐近线为x±2y=0，双曲线方程为：

x2

31+10 6

-

4y2

31+10 6

=1．
所以所求双曲线方程为：y²-

x2

4

=1，

x2

31+10 6

-

4y2

31+10 6

=1．

根据双曲线和其渐近线之间的关系，设出双曲线的方程，根据点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为

6

，转化为双曲线与半径为

6

的圆A相切，联立消去y得，利用△=0即可求得双曲线的方程．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：考查双曲线的简单的几何性质，特别是双曲线方程与其渐近线方程之间的关系，已知双曲线的方程求其渐近线方程时，令

x2

a2

−

y2

b2

＝0即可，反之，如此题设双曲线方程为x²-4y²=m，避免了讨论，条件（2）的设置增加了题目的难度，体现了转化的思想，属中档题．