题目

f(x)在定义域(-无穷,1]上是减函数,有无k使（k-sinx）大等于f(k平方-sinx平方)对一切x成立

提问时间：2021-04-01

答案

是f(k-sinx)恒大于等于f(k²-sin²x)吧.
由定义域,k-sinx≤1,k²-sin²x≤1
对任意x∈(-∞,1],sinx∈[-1,1],
k-sinx≤1,k²-sin²x≤1可写作sinx≥k-1,sin²x≥k²-1
那么sinx≥k-1,sin²x≥k²-1对任意x∈(-∞,1]成立的条件是：k-1≤-1,k²-1≤0,解得-1≤k≤0
由于f(x)单减,那么当k-sinx恒小于等于k²-sin²x时,f(k-sinx)恒大于等于f(k²-sin²x)
设t=sinx
k-sinx-(k²-sin²x)
= - k²+k+ t²-t
=(t-1/2)² -(k-1/2)²
若k-sinx-(k²-sin²x)恒小于等于0,即(t-1/2)² -(k-1/2)² 恒小于等于0,即(k-1/2)²恒大于等于(t-1/2)²
由于-1≤t≤1,所以0≤(t-1/2)²≤9/4
(k-1/2)²恒大于等于(t-1/2)²的条件是(k-1/2)²≥9/4,解得k≥2或k≤-1
与上边的-1≤k≤0取交集,得k=-1