题目

已知奇函数f(x)(x∈R)满足f(x+4)=fx+f(2),且f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2013)等于

提问时间：2021-04-01

答案

题目：已知奇函数f(x)(x∈R)满足f(x+4)=fx+f(2),求f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2013)的值 -----------------------------------------------割线----------------------------------------------- 因为f(x)为奇函数,且x∈R,所以f(0)=0 令x=x-2,则由f(x+4)=f(x)+f(2)可得：f(x+2)=f(x-2)+f(2) 再令x=0,且奇函数f(-2)=-f(2),可得f(0+2)=f(0-2)+f(2),即f(2)=-f(2)+f(2) 解之可得f(2)=0 由f(x+4)=f(x)+f(2)得f(x+4)=f(x),所以周期T=4 则当x为偶数时值为0,f(2)+f(4)+f(6)+...+f(2010)+f(2012)=0.（1） 由f(x+4)=f(x)可得f(x+2)=f(x-2) 再令x=1可得f(3)=f(-1)=-f(1),即f(1)+f(3)=0 因为周期T=4,所以有f(1+4×1)+f(3+4×1)=0,f(1+4×2)+f(3+4×2)=0,...,f(1+4n)+f(3+4n)=0 即f(1)+f(3)=0,f(5)+f(7)=0,f(9)+f(11)=0...f(2012)+f(2013)=0 所以可得：f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+...+f(2011)+f(2013)=0.（2） 综合（1）、（2）可得f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2013)=0 以上!希望对你有所帮助!