题目

四边形ABCD内接于一圆,又外切于另一圆,其切点顺次为EFGH,求证EG垂直于FH

提问时间：2021-04-01

答案

四边形ABCD是圆的内角四边形,则对角互补,
即∠A+∠C=180°
设E、F、G、H分别在AB,BC,CD,DA 上,
则 ∠AEH=∠AHE（∵AE=AH） （1）
∠AHE=∠HGE（弦切角定理） （2）
∠CGF=∠CFG（∵CF=CG） （3）
∠CFG=∠FHG （弦切角定理） （4）
∵ ∠A+∠C=180°
∴ ∠AEH+∠AHE+∠CGF+∠CFG=180°
利用等量代换
2（∠HGE+∠FHG）=180°
∠HGE+∠FHG=90°
∴ EG⊥于FH（三角形内角和为180°）