题目

一道证明题,已知A为n阶矩阵,r(A)=r(A^2),证明：（1）AX=0与AAX同解 （2）r(A)=r(A^3)
第一问我能证到AX=0的解必为AAX=0的解,A满秩时AAX=0的解必为AX=0的解,A不是满秩就不会了.第二问完全不会.

提问时间：2021-04-01

答案

(1)显然 AX=0 的解是 A^2X=0 的解因为 r(A)=r(A^2)所以AX=0的基础解系是A^2X=0的基础解系故方程组同解.(2)显然 A^2X=0 的解是 A^3X=0 的解设X0是A^3X=0的解,则 A^2(AX0)=0所以AX0是 A^2X=0 的解.由(1) AX0是AX=0的解...