题目

已知y^2=2px,直线l过抛物线焦点c交抛物线上AB两点,D在准线上,当三角形BAD为等边三角形时,求D点坐标.
不错，但还是漏解了D点在第三象限的情况。

提问时间：2021-04-01

答案

额..写着写着给忘了
设AB所在的直线的斜率为k
则AB所在的直线的方程为y=k(x-p/2)
设AB的横坐标分别为x1x2
因为AB是直线和抛物线的交点
所以联立直线方程和抛物线方程消去y得
k²x²-(k²p+2p)x+p²k²/4=0
此时x1+x2=-b/a=(k²p+2p)/k²
x1*x2=c/a=p²/4
所以|x1-x2|=√((x1+x2)²-4*x1*x2)=(2p*√(1+k²)) /k²
至此,准备工作做完了
然后根据题意D点一定是AB的中垂线和抛物线准线的交点,取AB中点为C
则C点的横坐标为(x1+x2)/2=(k²p+2p)/2k²
且D到线段AB的距离比上线段AB的长度等于√3/ 2
线段AB的长度为(2p*√(1+k²)) /k² * √(1+k²)=2p(1+k²)/k²
线段DC的长度为(k²p+p)/k² * √(1+1/k²)
DC/AB=√(1+k²)/2k=√3/ 2
所以k=±√2 /2
所以AB：y=±√2 /2 *(x-p/2)
C点坐标(2.5p,±√2 p)
直线CD斜率为-1/k=±√2
所以直线CD：y-√2 p=-√2*(x-2.5p)或y+√2 p=√2*(x-2.5p)
令x=-1/2p得y=±4√2p
所以D的坐标为(-1/2p,±4√2p)