题目

f（x)=3的x-m次幂,定义域为【2,4】,且过A（2,1）,F（x)=（f(x)的反函数）的平方-f（x)的反函数,求值域,请问,我求出m=2,一系列换元+图像,解出是【-1/2,9】,答案是【2,12】,我解到：f(x)=x的x-2次幂后,令t=x-2,y=x的t次幂,f(x)的反函数为log3(y),y在[1,9],F(x)=.往后解就不对了,

提问时间：2021-04-01

答案

解
[[1]]
函数f(x)=3^(x-m),
定义域:[2,4]
由题设可知,f(2)=1
即:3^(2-m)=1
∴m=2
∴函数f(x)=3^(x-2).
由定义域为 2≤x≤4
可知,值域为 [1,9].
两边取对数,lgy=(x-2)lg3
x=[(lgy)/(lg3)]+2.
∴其反函数g(x)=[(lgx)/(lg3)]+2.
易知,反函数g(x)的定义域为[1,9],值域为[2,4]
[[2]]
由题设可得
F(x)=g²(x)-g(x)=[g(x)-(1/2)]²-(1/4)
其中,2≤g(x)≤4
∴恒有:2≤F(x)≤12
即函数F(x)的值域为[2,12]