题目

设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax
（1）设g(x)=f(x)-1/x,在[1,+无穷）上单增递增,求a的取值范围
（2）当a不等于0时,求f（X）的单增区间

提问时间：2021-04-01

答案

(1) g(x)在[1,+∞)上单增,则g'(x)=f'(x)+1/x²≥0,即f'(x)≥-1/x²,
由于x∈[1,+∞),则-1/x²∈[-1,0),故f'(x)≥0
f'(x)=(2-a)/x-1/x²+2a=[2ax²+(2-a)x-1]/x²=(2x-1)(ax+1)/x²≥0,
由于x＞1,则x²＞0,2x-1＞0
故当x＞1时,ax+1≥0恒成立,即a≥－1/x²
ⅰ当a≥0时,显然成立.
ⅱ当a＜0时,－1/x²∈[-1,0),则a≥0,与假设不符故舍去.
(2) 由f(x)定义域知x＞0,则x²＞0
令f'(x)≥0,则有(2x-1)(ax+1)≥0
ⅰ当a＜0时,
①a＜-2时,-1/a＜1/2,单增区间为(-1/a,1/2)
②-2＜a＜0时,1/2＜a＜-1/a,单增区间为(1/2,-1/a)
③当a=-2时,f'(x)=-(2x-1)²/x²≤0,单增区间为∅
ⅱ当a＞0时,-1/a＜1/2,故x＜-1/a或x＞1/2,又知x＞0,故单增区间为(0,1/2)