题目

数列{An}对任意正整数n满足a1a2a3...an=1/n+1 则数列an的通项公式为

提问时间：2021-04-01

答案

因为A1=S1
所以A1+A1=4096 ==A1=2048
因为An+Sn=4096 ==An-1+Sn-1=4096
而An=Sn-Sn-1
两式想减课的 An-An-1+An=0 ==An=1/2 *An-1
所以数列An是一个以2048为首项 1/2为公比的等比数列
An=2048×(1/2)^(n-1)
因为log2 An=log2[2048×(1/2)^(n-1) ]
=log2(2048)+log2[(1/2)^(n-1)]
=log2(2^11)+log2[2^(-n+1)]
=11-n+1=12-n
所以Tn=11+10+9+...+(12-n)=[11+(12-n)]n/2=(23-n)n/2
令(23-n)n/2-509 === n2-23n1018 ==(n-23/2)21018+529/4=4601/4
==n-23/2√4601/4 =(√4601)/2
比4601小的最大完全平方数时632=3969
所以n-23/2(√4601)/2 (√3969)/2 ==n-23/263/2 ==n(23+63)/2=44
又因为n∈N+ n最小值时45
经检验当n=45时 Tn=-495不满足 Tn-509
当n=46 Tn=-529 满足Tn-509
当n＞46时 显然 Tn-509
所以对数列{Tn},从第45项起Tn-509