题目

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．

（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；
（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD²=DE•DF，为什么？

提问时间：2021-04-01

答案

（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°，∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠CFP=∠AFH，∴∠AFH+∠OAC=90°，∴∠AHF=90°，即：AB⊥ED．（2）D在劣弧AC的中点时，才能...

（1）作辅助线，连接OC．根据切线的性质，OC⊥PC．根据PC=PF，OC=OA，可得：∠PCF=∠PFC，∠OCF=∠OAC．
在Rt△FHA中，可得：∠FHA=90°，故AB⊥ED；
（2）根据AD²=DE•DF，可得：△FAD∽△AED，∠FAD=∠DEA．从而可知：

AD

=

CD

，即D在劣弧AC的中点．

本题考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查切线的性质和相似三角形性质的运用．