题目

在数轴上把坐标为1，2，…，2006的点称为标点．一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，历经所有标点，且回到出发点．那么，该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由．

提问时间：2021-04-01

答案

设青蛙跳过的点为：a₁，a₂，a₃…a₂₀₀₆，设跳过的和为S，
S=|a₁-a₂|+…+|a₂₀₀₅-a₂₀₀₆|+|a₂₀₀₆-a₁|，
a₁到a₂₀₀₆在上式中均出现2次（这个懂吧，因为每个数在绝对值符号里作为被减数，和减数个一次，共出现2次）取+，-各2006个（把每一项展开时，大的取+，小的取-，所以整个式子在展开计算时，取+，-的各有2006个）．
故S≤2×（1004+1005+…+2006）-2×（1+2+…+1003）（要使加的数尽量大，减得数尽量少，
所以加的是2006到1004，减的是1到1003，这样跳过的路径才是最大的）
S=2×1003²
这就是青蛙跳过的最大路径即青蛙跳过的最大路径为：2012018