题目

已知函数f(x)=1/2[3ln(x+2)-ln(x-2)]
1,求x为何值时,f(x)在[3,7]上取得最大值
2,设F(x)=alnx(x-1)-f(x ),若F(x)是单调递增函数,求a的取值范围.

提问时间：2021-04-01

答案

首先,题目默认定义域为 （2,﹢∞）
⒈由题意：f'(x)＝(x－4)／(x²－4)
∵定义域要求 x＞2
∴f'(x) 在(2,4) 小于0,在(4,﹢∞) 大于0
得：f(x) 在(2,4) 单调递减；在(4,﹢∞) 单调递增
在区[3,7]上,
f(x)在 [3,4) 单调递减；在(4,7] 单调递增
f(3)＝(3ln5)／2 f(7)＝3ln3－ ln5／2
验证得：f(7)＞f(3)
综上,f(x)在[3,7]上,x＝7 时取得最大值
⒉由题意：F(x)＝alnx(x－1) －(1／2)[3ln(x＋2) －ln(x－2)]
∴F'(x)＝a[(2x－1)／(x²－x)] － (x－4)／(x²－4) ≥0
∵在定义域上,(2x－1)／(x²－x) 恒为正
∴不等式化为：
a≥[x(x－1)(x－4)]／[(x²－4)(2x－1)]＝(x³－5x²＋4x)／(2x³－x²－8x＋4)
令g(x)＝(x³－5x²＋4x)／(2x³－x²－8x＋4)
则可知：g(x) 在(2,4)上为负值 ,在(4,﹢∞)上为正值,g(4)＝0
g(x)＝(x³－5x²＋4x)／(2x³－x²－8x＋4)
＝(1／2)[1－ (9x²－16x＋4)／(2x³－x²－8x＋4)]
则：g(x)在定义域上为增函数
当x趋近于﹢∞时,得：g(x)＝1／2
综上,a≥1／2
（判定g(x)在定义域上为增函数是因为 (9x²－16x＋4)／(2x³－x²－8x＋4)在定义域上是递减的 ）