题目

介值定理的问题
函数f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:在[0,2a]上至少存在一点ξ,使f(ξ)=f(ξ+a).
我大概懂这个的意思,也能用自然语言说明白,但是如何形式化的证明?

提问时间：2021-04-01

答案

你这个题的区间可能不对,应该是在[0,a]上存在一点吧,否则f（ξ+a）超出2a的定义的连续范围了就.
令 F(x) = f(a+x)-f(x) 则F(x)在[0,2a]上连续
F(a) = f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)
F(0) = f(a)-f(0) =-F(a)
由闭区间连续函数介值定理,必然存在一点ξ,使得F(X)的值为0
即是题目所要你证明的等式f(ξ)=f(ξ+a)