题目

已知抛物线的顶点时坐标原点o,焦点F在x轴正半轴上,过F的直线l与抛物线交于A、B两点,且满足向量OA×向量OB=-3
1、求抛物线的方程
2、在x轴负半轴上一点M（m,0）,使得∠AMB是锐角,求m的取值范围
3、若P在抛物线准线上运动,其纵坐标的取值范围是[-2,2],且向量PA×向量PB=16,点Q是以AB为直径的圆与准线的一个公共点,求点Q的纵坐标的取值范围

提问时间：2021-04-01

答案

第一问应该没有问题吧,有定理（最好背下来）过焦点的直线与抛物线焦点的横纵坐标的表达式：x1x2=p^2/4,y1y2= - p^2 （用韦达定理易得） 可知 p=2
第二问 AB:y=k(x-2) 代入 y^2=4x 可知 x1+x2=2+4/k^2 y1+y2=4/k
MA=(x1-m,y1) MB=(x2-m,y2)
角AMB是锐角等价于MA*MB>0
所以 x1x2-m(x1+x2)+m^2+y1y2>0
将x1x2 ,y1y2 ,x1+x2 ,y1+y2 代入上式,化简可知
2k^2+4
m*------------------ m- --------
k^2 m
左面>2,要使该式恒成立,只需右面