题目

在周长为l的直角三角形中,求其斜边的最小值.并指出当斜边为最短时,这个三角形两个锐角的度?

提问时间：2021-04-01

答案

注明：^2表示平方的意思,√2表示根号2的意思.
设该直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,由勾股定理,得
a^2+b^2=c^2
a+b+c=L
由a+b+c=L得
a+b=L-c
(a+b)^2=(L-c)^2
a^2+b^2+2ab=L^2-2Lc+c^2
c^2+2ab=L^2-2Lc+c^2
2ab=L^2-2Lc
由(a-b)^2≥0展开整理得：a^2+b^2≥2ab,所以
c^2≥2ab
c^2≥L^2-2Lc
c^2+2Lc≥L^2
c^2+2Lc+L^2≥2L^2
(c+L)^2≥2L^2
直接开平方,得
c+L≥(√2)L
c≥(√2-1)L
所以斜边的最小值为：(√2-1)L.等号成立的条件是：当a=b时成立,此时的直角三角形是等腰直角三角形,所以两个锐角都等于45度.