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题目
如图,A,B,C,D为空间四点.在△ABC中,AB=2,AC=BC=
2
.等边三角形ADB以AB为轴运动.

(Ⅰ)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD;
(Ⅱ)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.

提问时间:2021-04-01

答案
(Ⅰ)取AB的中点E,连接DE,CE,
因为ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时,
因为平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC,
可知DE⊥CE
由已知可得DE=
3
,EC=1
,在Rt△DEC中,CD=
DE2+EC2
=2

(Ⅱ)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明:(ⅰ)当D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,
所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.
(ⅱ)当D不在平面ABC内时,由(Ⅰ)知AB⊥DE.又因AC=BC,所以AB⊥CE.
又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE,由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD.
综上所述,总有AB⊥CD.
(Ⅰ)取出AB中点E,连接DE,CE,由等边三角形ADB可得出DE⊥AB,又平面ADB⊥平面ABC,故DE⊥平面ABC,在Rt△DEC中用勾股定理求出CD.
(Ⅱ)总有AB⊥CD,当D∈面ABC内时,显然有AB⊥CD,当D在而ABC外时,可证得AB⊥平面CDE,定有AB⊥CD.

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