题目

已知奇函数f（x）在（0,正无穷）上单调递增,且f（3）=0,则不等式x(乘以)f（x）

提问时间：2021-04-01

答案

设x1＜x2＜0；
则-x1＞-x2＞0
又f（x）在（0,+∞）上是增函数,得：
f（-x1）＞f（-x2）
又f（x）是奇函数
∴-f（x1）＞-f（x2）
f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（-∞,0）上也是增函数；
又f（3）=0
∴f（-3）=-f（3）=0
不等式xf（x）＜0
当x＞0时,等价于f（x）＜0
又f（x）在（0,+∞）上是增函数,且f（3）=0
∴x＞0时,f（x）＜0等价x＜3；
∴0＜x＜0
同理：x＜0时,原不等式等价f（x）＞0
f（x）在（-∞,0）上是增函数,且f（-3）=0
∴x＜0时,f（x）＞0等价x＞-3
∴-3＜x＜0
∴xf（x）＜0的解集为：{x/-3＜x＜0或0＜x＜-3}
或表示成{x/-3＜x＜3且x≠0}