题目

如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关

提问时间：2021-04-01

答案

设有一组系数使得α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs组合为0
就是c1 α1+c2(α1+α2)+...+cs(α1+α2+...+αs)=0
重新按向量组合 得到
(c1+c2+...+cs) α1 + (c2 +c3+...+cs)α2 + ...+cs as =0
也就是
(c1,c2,...,cs)P ( α1,α1,...,as) =0
其中P=
1 1 .1
0 1 .1
0 0 1 ...1
0 0,.,1
因为 ( α1,α1,...,as)线性无关,因此
由(c1,c2,...,cs)P ( α1,α1,...,as) =0
可以得到
(c1,c2,...,cs)P=0
而显然det(P)=1,所以P是可逆的
所以(c1,c2,...,cs)= 0 P^(-1)=0
所以得证