题目

三个关于等差等比数列的求和题. -0-
⑴ (a-1)+(a^2-2)+……+（a^n-n)
⑵ （2-3×5^-1)+(4-3×5^2)+……+(2n-3×5…^-n)
⑶ 1+2x+3x^2+……+nx^n-1
-0- 谁能帮我解一下阿.

提问时间：2021-04-01

答案

(a-1)+(a^2-2)+……+（a^n-n)
分组求和法
将等差和等比发开来求
a+a^2+a^3+.+a^n-(1+2+3+.+n)
=a(1+a^n)/（1-a） - （1+n）n/2
（2-3×5^-1)+(4-3×5^-2)+……+(2n-3×5…^-n)
同样是分组求和
（2-3×5^-1)+(4-3×5^-2)+……+(2n-3×5…^-n)
=2+4+6+8+……+2n-3（5^-1+5^-2+5^-3+……+5^-n)
=n^2+n-3*(1/5)*(1-(1/5)^n)/(1-1/5)
=n^2+n-3/4+3/4*(1/5)^n
1+2x+3x^2+……+nx^n-1
用错位相减
设“1+2x+3x^2+……+nx^(n-1) ”为Sn
Sn=1+2x+3x^2+……+nx^(n-1)
xSn=x+2x^2+3x^3+.+(n-1)x^(n-1)+nx^n
Sn-xSn=1+x+x^2+x^3+……+x^(n-1)+nx^n
=1+[x(1-x^n-1)]/(1-x)+nx^n
Sn（1-x）=1+[x(1-x^n-1)]/(1-x)+nx^n
Sn=[x(1-x^n-1)]/(1-x)^2+(nx^n+1)/(1-x)