题目

计算∫∫∫xyzdxdydz,其中 ∏x^2+y^2+z^2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域
积分号下面有个∏
积分限怎么确定的

提问时间：2021-04-01

答案

计算Ω∫∫∫xyzdxdydz,其中 Ω：x²+y²+z²=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域
积分域Ω是一个球心在原点,半径为1的球在第一挂限内的部分,用球坐标计算比较方便.
(0≦θ≦π/2,0≦φ≦π/2,0≦r≦1).
Ω∫∫∫xyzdxdydz=Ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ
=Ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ=[0,1]∫(r^5)dr[0,π/2]∫sin³φd(sinφ)[0,π/2]∫sinθd(sinθ)
={[(r^6)/6]︱[0,1]}{[(1/4)sin⁴φ]︱[0,π/2]}{[(1/2)sin²θ]︱[0,π/2]}
=(1/6)(1/4)(1/2)=1/48