题目

两个可导函数乘积是否可导?为什么?
设f（x）在[a.b]上连续,且对所有那些在[a,b]上满足附加条件g(a)=g(b)=0的连续函数g(x),有:∫(b,a)f（x）*g(x)dx=0(f(x)*g(x)在[a,b]的积分) 证明在[a,b]上f(x)恒等于0.在我不知道怎么证明,这属于两个函数乘积吧,还有,类似这样的都怎么证明呢,

提问时间：2021-04-01

答案

设f(x),g(x)在[a.b]上连续,且g(a)=g(b)=0,g(x)可任取,∫(a,b)f(x)*g(x)dx=0.证[a,b]上f(x)恒等于0.
充分利用g的任意性
证：因 g(x)可任取,∫(b,a)f(x)*g(x)dx=0 设g(x)=g1(x)f(x) ,g1(x)>0 ,x∈(a,b),g1(a)=g1(b)=0,
所以∫(b,a) g1(x)dx>0
所以,∫(b,a)f(x)*g1(x)*f(x) dx=0
0=∫(a,b) f²(x)*g1(x)dx=∫(a,t) f²(x)*g1(x)dx+∫(t,b) f²(x)*g1(x)dx t∈(a,b)
因∫(a,t) f²(x)*g1(x)dx>0,∫(t,b) f²(x)*g1(x)dx>0
所以∫(a,t) f²(x)*g1(x)dx=0,两边关于t 求导,得f²(t)*g1(t)=0
所以f²(t)=0,t∈(a,b)
又因f连续 所以f²(t)=0,t∈【a,b】