题目

已知数列{a_n}的首项a₁=a（a是常数且a≠-1），a_n=2a_n-1+1（n∈N，n≥2）．
（Ⅰ）{a_n}是否可能是等差数列．若可能，求出{a_n}的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅱ）设b_n=a_n+c（n∈N，c是常数），若{b_n}是等比数列，求实数c的值，并求出{b_n}的通项公式．

提问时间：2021-04-01

答案

（I）∵a₁=a（a≠-1），a₂=2a+1，a₃=2a₂+1=2（2a+1）+1=4a+3，a₁+a₃=5a+3，2a₂=4a+2．
∵a≠-1，∴5a+3≠4a+2，即a₁+a₃≠2a₂，故{a_n}不是等差数列．
（II）由{b_n}是等比数列，得b₁b₃=b² ，即（a+c）（4a+3+c）=（2a+1+c）²，
化简得a-c-ac+1=0，即（a+1）（1-c）=0．
∵a≠-1，∴c=1，∴b₁=a+1，q=

b2

b1

=2．
∴b_n=b₁q^n-1=（a+1）•2^n-1．