若函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续的、单调的函数,且满足f(a)•f(b)<0,则函数y=f(x)在区间[a,b]上有唯一的零点”.对于函数f(x)=-x
3+x
2+x+m,
(1)当m=0时,讨论函数f(x)=-x
3+x
2+x+m在定义域内的单调性并求出极值;
(2)若函数f(x)=-x
3+x
2+x+m有三个零点,求实数m的取值范围.
提问时间:2021-04-01
(1)当m=0时,f(x)=-x
3+x
2+x.
∴f′(x)=-3x
2+2x+1=
−3(x+)(x−1).
列表如下:
由表可知:函数f(x)=-x
3+x
2+x在区间[-
,1]上单调递增,在
(−∞,−)和(1,+∞)上单调递减.
∴f(x)的极小值为
f(−)=-
,
极大值为ƒ(1)=1.
(2)由(1)知,当x=-
时,
f(x)取得极小值
f(−)= +−+m=m−,
当x=1时,f(x)取得极大值
f(1)=-1+1+1+m=m+1,
当
,即-1<m<
时,
f(-1)=1+1-1+m=m+1>0,
f(−)=m-
<0,
f(1)=m+1>0,f(2)=m-2<0,
∴f(x)=-x
3+x
2+m在
[−1,−]上有唯一零点.
在
(−,1]上有唯一零点,在(1,2]上有唯一零点.又f(x)=-x
3+x
2+x+m在(-∞,-1]上单调递减,
在[2,+∞]上单调递减,∴在(-∞,-1]上恒有ƒf(x)≥f(-1)>0,在[2,+∞)上恒有f(x)≤f(2)<0.
∴f(x)=-x
3+x
2+x+m-在(-∞,-1]和[2,+∞)上无零点.∴-1<m<
时,函数f(x)=-x
3+x
2+x+m在有三个零点,
∴所求实数m的取值范围是
(−1,).
(1)直接求函数f(x)=-x3+x2+x的导函数,判断单调性求函数极值即可;
(2)三次函数有三个零点,也就是函数图象与x轴有三个交点,函数的极小值小于0,极大值大于0,即求函数的极值即可解决.
导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件.
本题考查函数的导数研究函数的单调性,函数零点的概念,以及函数的导数求函数的极值,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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