题目

1月27日数学请教疑惑：已知函数f(x)=x^2+ax+b(a,b属于R),
g(x)=2x^2-4x-16,且|f(x)|2,不等式f(x)>=(m+2)x-m-15恒成立,求实数m的取值范围
网友解析：g(x)=2(x-4)(x+2),当x=4或-2时,|g（x）|=0,│f(x)│≤│g(x)│对x∈R恒成立
故此时,f(x)=0,代入得：f（x)=x^2+ax+b=(x-4)(x+2),a=-2,b=-8
因为a=-2 b=-8
所以f(x)=x^2-2x-8
又因为 f（x)大于等于（m+2)x-m-15
所以x^2-2x-8≥（m+2)x-m-15
即x^2-（m+4）x+m+7≥0 在x大于2时恒成立
令h(x)=x^2-（m+4）x+m+7
则h(x)=x^2-（m+4）x+m+7为开口向上的抛物线
对称轴为x=（m+4）/2,顶点纵坐标为（12-4m-m²）/4
h(2)=2^2-（m+4）*2+m+7=3-m
(1)当（m+4）/2≥2时,要求（12-4m-m²）/4≥0
解得0≤m≤2
（2）)当（m+4）/2＜2时,要求h(2)=3-m≥0
解得m＜0
综合（1）（2）可得 若对一切x大于2,均有f（x)大于等于（m+2)x-m-15成立
实数m的取值范围是 x≤2,即（-∞,2]我的疑惑：代入得：f（x)=x^2+ax+b=(x-4)(x+2),这里为什么等于(x-4)(x+2)?

提问时间：2021-04-01

答案

后面的解答我没仔细看,其实这个很好理解,只是题目拐了个弯
貌似很难理解,最好的办法,你画一个简图看看,就很清楚了：
题目给的条件是：|f(x)|<=|g(x)|对于R恒成立,而|f(x)|和|g(x)|的意思是把函数图像
位于x轴下方的部分翻转到x轴的上方,来达到大于等于0的目的,那就很清楚了
在整个实数域上,只要f(x)的2个根不是-2和4,那无论如何都不能保证|f(x)|<=|g(x)|
恒成立,就是说f(x)的2个根如果不是-2和4,那么|f(x)|的图像和|g(x)|的图像总会有
异于点(-2,0)和(4,0)的交点,所以说|f(x)|<=|g(x)|的意思就是告诉你等号成立的条件
也是唯一条件,说白了,就是固定2个点,一个曲线在另一个曲线的下方,不知道
我说明白了没有.