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题目
多层复合函数的单调性与一个有关自然对数极限的证明.
命题一:对于一个多层的复合函数,如果其中有偶(奇)数个减函数,那么整个复合函数是增(减)函数.
这个命题我觉得可以类比正负数的运算,只是也许其中有什么不同,要一个严格的数学论证过程.证伪也行,反正是我胡思乱想找的.
命题二:lim[(a^n-1)/n]=lna(n→∞)
这个东西可以从指数函数的导数公式得到,只是我就是想用这个来证明它的,想看看能不能从别的地方证明这个.

提问时间:2021-04-01

答案
第一个:
可以用数学归纳法证.我们证一个,其它的一样
如果f1,...,f2k+1,2k+1都是减函数,那么他们的复合是减的.
k=0时,只有一个f1,是减的
两个减的复合是增的是显然的
设k=n时,成立
即f1,...,f2n+1的复合是减的,那么再复合两个
f2n+n,f2n+3,把这两个复合以后,再和前面的复合.
f2n+n,f2n+3复合是增的,前面的一堆由归纳假设是减的,所以总复合是减的.
这说明 f1,...f2(n+1)+1也成立,证毕.
第二个,n→∞时,极限不是lna,
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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