题目
设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)•f(y),当x>0时,有0<f(x)<1.
(1) 求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2) 证明:f(x)在R上单调递减.
(1) 求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2) 证明:f(x)在R上单调递减.
提问时间:2021-03-31
答案
证明:(1)对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)•f(y),令x=1,y=0 可得 f(0+1)=f(0).f(1)因为x>0时,有0<f(x)<1,所以f(1)>0所以 f(0)=1当x<0时,-x>0,根据已知条件可得1>f(-x)>0,而f...
(1)f(x+y)=f(x)•f(y)恒成立,考虑取x=1,y=0代入,结合条件x>0时,有0<f(x)<1,
可求f(0);x<0时,-x>0,根据已知条件可得1>f(-x)>0,而f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1⇒f(x)=
,从而可证
(2)要证函数在R上单调递减⇔x1<x2时有f(x2)<f(x1),结合已知条件构造f(x1)=f[(x1-x2)+x2],利用已知可证
可求f(0);x<0时,-x>0,根据已知条件可得1>f(-x)>0,而f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1⇒f(x)=
1 |
f(−x) |
(2)要证函数在R上单调递减⇔x1<x2时有f(x2)<f(x1),结合已知条件构造f(x1)=f[(x1-x2)+x2],利用已知可证
抽象函数及其应用.
本题主要考查抽象函数的函数值的求解,函数的单调性的定义法证明,属于中档题,函数的单调性的证明实际是通过配凑来比较函数值的大小,注意构造的技巧在解题中的 应用.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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