题目

已知a，b为整数，且方程3x²+3（a+b）x+4ab=0的两个根满足关系式α（α+1）+β（β+1）=（α+1）（β+1），试求所有的整数点对（a，b）．

提问时间：2021-03-31

答案

因为α²+α+β²+β=αβ+α+β+1，
所以α²+β²-αβ-1=0，
所以（α+β）²-3αβ-1=0①，
α+β=-a-b，αβ=

4ab

3

，
代入①得（a+b）²-4ab-1=0，
所以（a-b）²=1，
a-b=±1，
而a＞b，
所以a-b=1，所以a=b+1，
在原方程中，△=9（a+b）²-4×4ab×3≥0，
整理，并把a=b+1代进去可知4b²+4b≤3，
两边加1 并用平方和公式知：
（2b+1）²≤4；
所以-2≤2b+1≤2，
而b为整数，
b=-1或0，
当b=-1时，
a=0，
代回去没有问题，
b=0，a=1也没问题，
所以（a，b）=（0，-1）或（1，0）．

根据一元二次方程根与系数的关系，求出a与b的关系，再根据根的判别式求出b的取值范围，从而判断出a、b的值．

本题考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系．

考点点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，重点在于考查同学们的逻辑推理能力，难度较大．