题目

两定点F1(负根号2,0)(根号2,0)平面上动点P满足IPF1I-IPF2I=2求动点P轨迹C方程
下面是第二问：过点M(0,1)的直线L与C交于A.B两点且向量MA=n倍向量MB.当1/3小于等于n小于等于1/2时求直线L的斜率K的取值范围

提问时间：2021-03-31

答案

1.
2a=2;
a=1
为双曲线 x^2 - y^2 =1 的右支
2.
设直线参数方程为{
x=pt;
y=1+qt;
其中K=q/p;
代入 x^2 - y^2 =1 中得
(p^2 - q^2)·t^2 -2q·t -2=0;
由韦达定理,t1 + t2 = 2q/(p^2 - q^2);
t1·t2 = -2/(p^2 - q^2);
则(t1 + t2 )^2 /(t1·t2) = (t1/t2) +2 + (t2/t1)
= -2q^2 /(p^2 - q^2)
= 2/[1 - (p/q)^2]
= 2/(1 - 1/k^2 )
由于此形式的直线参数方程中的t的几何意义是表征直线上的点距点M的远近,故t1与t2之比即等于向量MA与向量MB之比.则:
n +2 + 1/n = 2/(1 - 1/k^2 )
→n^2 + 2n/(k^2 -1) + 1 =0;
将 1/3小于等于n小于等于1/2 代入上式即可求得斜率K的取值范围