题目

柯西不等式 中与向量 结合.急.
空间中一向量a 与X轴 Y轴 Z轴 正向之夹角依次为 A ,B,C(A B C均非象限角.） 求 1/(sinA)^2 + 1/(sinB)^2 +1/(sinC)^2 的最小值

提问时间：2021-03-31

答案

设向量a的坐标为 (x,y,z),则
cosA=x/根号(x^2+y^2+z^2),cosB=y/根号(x^2+y^2+z^2),cosC=z/根号(x^2+y^2+z^2),因此有 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1,所以 (sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2.
由柯西不等式：
[1/(sinA)^2+1/(sinB)^2+1/(sinC)^2][(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2]>=(1+1+1)^2=9
而 (sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2,所以 1/(sinA)^2+1/(sinB)^2+1/(sinC)^2>=9/2,即所求最小值为 9/2.