题目

已知两个非零向量

a

=(m-1，n-1)，

b

=(m-3，n-3)，且

a

与

b

的夹角是钝角或直角，则m+n的取值范围是（　　）
A. [

2

，3

2

]
B. [2，6]
C. (

2

，3

2

]
D. （2，6）

提问时间：2021-03-31

答案

∵a与b的夹角是钝角或直角，∴a•b≤0，∴（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3）≤0，即 （m-2）2+（n-2）2≤2，故点（m，n）在以（2，2）为圆心，以2为半径的圆面上，包含圆，但不包括直线y=x与圆的2个交点（否则两个向量...

由题意得，

a

•

b

≤0，（m-2）²+（n-2）²≤2，点（m，n）在以（2，2）为圆心，以

2

为半径的圆面上，
包含圆，但不包括直线y=x与圆的2个交点，令m≤2+

2

cosθ，n≤2+

2

sinθ，则m+n=4+2sin（θ+

π

4

），
由sinθ和cosθ 不能相等或相反，可得-1＜sin（θ+

π

4

）＜1，从而求得m+n 的范围．

本题考点：数量积表示两个向量的夹角；二次函数的性质．

考点点评：本题考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，正弦函数的值域，得到（m-2）²+（n-2）²≤2，是解题的关键．