题目

设f(x)是定义域R上的函数,对任意x,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)乘f(y),当x大于0时,有f(x)大于0小于1.
求证：f(0)=1,且当x小于0时,f(x)大于1
证明：f(x)在R上单调递减

提问时间：2021-03-31

答案

取x=y=0,得f(0)=f(0)乘f(0),得f(0)=0或1,
再取x>0,y=0,得f(x)=f(x)乘f(0),
如果f(0)=0,得f(x)=0,与当x大于0时,有f(x)大于0矛盾,故f(0)=1,
又取x>0,y=-x1,
注意此y