题目

求函数f(x)=(2-cosx)(2-sinx)的最值

提问时间：2021-03-31

答案

　　f(x)=(2-cosx)/(2-sinx)的几何意义是：点A（2,2）到点B（cosX,-sinX）的连线的斜率等于f(X).
而点B的轨迹是一个单位圆,即x^2+y^2=1,所以题目的意思可以变为：
“求点A（2,2）到单位圆x^2+y^2=1的连线的斜率范围.”
所以,只要求出过点A（2,2）到圆的两条切线斜率k就可以了.
设切线为（y-2）=k（x-2）即
kx-y+2-2k=0
因为圆心（0,0）到切线的距离等于半径1,运用点到直线的距离公式得
∣2-2k∣/√(k^2+1)=1解之得k=(4±√7)/3
所以原函数的值域为[(4-√7)/3,(4+√7)/3]