题目

求教一高数梯度跟空间坐标向量的题目
问在哪些点上,函数U=x^3+y^3+z^3-3xyz的梯度分别满足下列条件:
1、垂直于Z轴 2、平行于Z轴
解第一题：设点（X0,Y0,Z0）垂直于Z轴,则梯度为{3X0^2-3Y0Z0,3Y0^2-3X0Z0,3Z0^2-3X0Y0},根据垂直关系,运算后得出z0^=x0y0,即在z^2=xy上垂直于z轴
解第二题:同理由于平行关系得出(3X0^2-3Y0Z0)/0=(3Y0^2-3X0Z0/0)=(3Z0^2-3X0Y0)/1,然后得出结论在Z=X=Y上平行于Z轴
第一题的结论我还能看懂,可第二题这个Z=X=Y是怎么得出来的呢,我算了一下应该是和第一题同一个结论才对啊,

提问时间：2021-03-31

答案

(0 0 1)是Z轴的单位向量,当其与Z轴平行时,即是与其单位向量平行,按空间解析几何就要求3X0^2-3Y0Z0)/0=(3Y0^2-3X0Z0/0)=(3Z0^2-3X0Y0)/1,这样要相等只能3X0^2-3Y0Z0=0,3Y0^2-3X0Z0=0,由这两式可解出Z=X=Y