题目

如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD=

1

2

BF．

提问时间：2021-03-31

答案

证明：连接OA，交BF于点E，
∵A是弧BF的中点，O为圆心，
∴OA⊥BF，
∴BE=

1

2

BF，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
在△OAD与△OBE中，

∠ADO＝∠BEO＝90° ∠AOD＝∠BOE BO＝AO

，
∴△OAD≌△OBE（AAS），
∴AD=BE，
∴AD=

1

2

BF．

连接OA，根据垂径定理可知，BE=

1

2

BF，再证明△OAD≌△OBE，进而得到AD=BE，从而问题得证．

本题考点：圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定．

考点点评：本题主要考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线，若直线具备①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧这五条中任意两条，其他三条成立．