题目

函数f（x）=2sinx-1-a在x∈[

π

3

，π]上有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A. [-1，1]
B. [0，

3

−1]
C. [0，1）
D. [

3

−1，1)

提问时间：2021-03-31

答案

∵当x∈[

π

3

，π]时，t=sinx在区间（

π

3

，

π

2

）上为增函数，
在区间（

π

2

，π）上为减函数，且sin

π

3

=sin

2π

3

∴当x∈[

π

3

，

2π

3

]且x≠

π

2

时，存在两个自变量x对应同一个sinx
即当t∈[

3

2

，1）时，方程t=sinx有两个零点
∵f（x）=2sinx-1-a在x∈[

π

3

，π]上有两个零点，即

1+a

2

=sinx在x∈[

π

3

，π]上有两个零点，
∴

1+a

2

∈[

3

2

，1），解之得a∈[

3

−1，1)
故选：D

根据正弦函数的单调性，得到当x∈[

π

3

，π]时，在区间[

π

3

，

2π

3

]上且x≠

π

2

时，存在两个自变量x对应同一个 sinx．由此得到若f（x）有两个零点，即

1+a

2

=sinx在x∈[

π

3

，π]上有两个零点，由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．

本题考点：正弦函数的图象；函数的零点．

考点点评：本题给出三角函数式，求满足函数在指定区间上有两个零点的参数a的取值范围．着重考查了三角函数的单调性与函数的图象与性质等知识，属于中档题．