题目

设S是实数集R的非空子集，如果∀a，b∈S，有a+b∈S，a-b∈S，则称S是一个“和谐集”.下面命题为假命题的是（　　）
A. 存在有限集S，S是一个“和谐集”
B. 对任意无理数a，集合{x|x=ka，k∈Z}都是“和谐集”
C. 若S₁≠S₂，且S₁，S₂均是“和谐集”，则S₁∩S₂≠∅
D. 对任意两个“和谐集”S₁，S₂，若S₁≠R，S₂≠R，则S₁∪S₂=R

提问时间：2021-03-31

答案

A是真命题 S={0}是和谐集；B是真命题：设 x1=k1a，x2=k2a，k1，k2∈Z x1+x2=（k1+k2）a∈Sx1-x2=（k1-k2）a∈S∴S={x|x=ka，a是无理数，k∈Z）是和谐集C是真命题：任意和谐集中一定含有0，∴S1∩S2≠∅；D假命题取S1...

根据已知中关于和谐集的定义：S是实数集R的非空子集，如果∀a，b∈S，有a+b∈S，a-b∈S，则称S是一个“和谐集”．我们利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得到答案．

本题考点：命题的真假判断与应用．

考点点评：此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较新的题型．