题目

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别为BC,A1D1的中点
1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别为BC,A1D1的中点
(1)求证:DEB1F为菱形
(2)求AD与平面DEB1F所成的角 (π/2)-arccos√6/3
(3)求二面角A-DE-F的大小 arccos√6/3

提问时间：2021-03-31

答案

1、（1）、设棱长为a,根据勾股定理,B1E=√[a^2+(a/2)^2]= √5a/2,同理DE=DF=B1F=B1E=√5a/2,四边皆相等,故四边形DEB1F为菱形.
（2）作AQ⊥DB1,AF=AE=√5a/2,△AEF是等腰△,AM⊥EF,EF⊥A1D1,EF⊥AD,EF⊥平面ADMB1,AQ∈平面DAB1,AQ⊥EF,AQ⊥平面DEB1F,AQ就是斜线AD在平面DEB1F的射影,<ADQ是AD与平面DEB1F的成角,△DB1A是RT△,AB1=√2,DB1=√3,AD=1,AQ*B1D=AD*AB1,AQ=√6/3,DQ=√3/3,cos<ADQ=DQ/AD=√3/3,<ADQ=arcos(√3/3), AD与平面DEB1F所成的角为arcos(√3/3).
（3）、设正方形棱长为1,从E作EN⊥AD,连结FN,EN⊥平面ADD1A1,三角形FND是三角形FDE的射影,设二面角A-DE-F的平面角为α,S△FND= S△FDE*cosα,S△FDE=EF*DM/2,EF=√2,DM=B1D/2=√3/2, S△FDE=√6/4,S△FDN=1/4,cosα=1/4/（√6/4）=√6/6,
α=arcos(√6/6), 二面角A-DE-F的大小为arcos(√6/6).