题目

已知圆系方程x²+y²+2kx+（4k+10）y+5k²+20k=0（k∈R），是否存在斜率为2的直线l被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值4

5

？如果存在，试求直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

提问时间：2021-03-31

答案

（本小题满分14分）
假设存在满足条件的直线方程为y=2x+m，
圆的方程配方可得：（x+k）²+（y+2k+5）²=25．
所以圆心到直线的距离d=

1

5

|−2k+2k+5+m|＝

|5+m|

5

，
由垂径定理可得：(

|5+m|

5

)2＝52−(2

5

)2，
解得m=0或m=-10，
故存在满足条件的直线方程，方程为y=2x或y=2x-10．

设出直线的方程，求出圆的圆心坐标，利用圆心距、半弦长与半径满足勾股定理，求出所求直线方程即可．

本题考点：直线与圆的位置关系．

考点点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式以及垂径定理的应用，考查计算能力．