题目

在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,AB=CD,P是BC上一点,PE平行CD交AC于E,PF平行AB交BD于F.求证：PE+PF=AB

提问时间：2021-03-31

答案

过F做PC的平行线交DC于G
因为PF//DC,G在DC上,所以PF//GC
又FG//PC故四边形FGCP是个平行四边形（两对边分别平行的四边形是平行四边形）
所以FG=PC(1),FP=GC(2) (平行四边形两对边分别相等）
因为这是个等腰梯形,所以角DBC=角ACB（这个虽然不能直接得出,但是你肯定知道为什么）
又FG//PC且P在BC上,所以FG//BC,所以角DFG=角DBC=角ACB（3）
因为EP//AB,所以角EPC=角ABC,且等腰梯形中两底角相等即角ABC=角DCB就等于角EPC
因为FG//BC,所以角DGF=角DCB
因为角DCB还等于角EPC,所以角DGF=角EPC（4）
在三角形DGF和三角形EPC中有（1）,（3）,（4）即满足两个三角形两角及其所夹边对应相等,所以这两个三角形全等
则有EP=DG,且在平行四边形FGCP中 有FP=GC,又GC+DG=DC
所以PE+PF=DC,这是个等腰梯形,AB=DC,所以PE+PF=AB